« »

Тема 4. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

4.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

В топографии наиболее широкое распространение получили прямоугольные координаты. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные линии – OХ и OY. Эти линии называют осями координат, а точка их пересечения (O) – началом координат.


Рис. 4.1. Прямоугольные координаты

Положение любой точки на плоскости можно легко определить, если указать кратчайшие расстояния от осей координат до данной точки. Кратчайшими расстояниями являются перпендикуляры. Расстояния по перпендикулярам от осей координат до данной точки называют прямоугольными координатами этой точки. Отрезки, параллельные оси X, называют координатами хА, а параллельные оси Y – координатами уА.
Четверти прямоугольной системы координат нумеруются. Их счет идет по ходу часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс – I, II, III, IV (рис. 4.1).
Прямоугольные координаты, о которых шла речь, применяют на плоскости. Отсюда они получили название плоских прямоугольных координат. Эту систему координат применяют на небольших участках местности, принимаемых за плоскость.

4.2. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

При рассмотрении вопроса «Проекции топографических карт» было отмечено, что поверхность Земли проектируется на поверхность цилиндра, который касается поверхности Земли по осевому меридиану. При этом на цилиндр проектируется не вся поверхность Земли, а лишь часть ее, ограниченная 3° долготы на запад и 3° на восток от осевого меридиана. Поскольку каждая из проекций Гаусса передает на плоскость только фрагмент поверхности Земли, ограниченный меридианами через 6° долготы, то всего на поверхность Земли должно быть составлено 60 проекций (60 зон). В каждой из 60 проекций образуется отдельная система прямоугольных координат.
В каждой зоне осью X является средний (осевой) меридиан зоны, вынесенный западнее на 500 км от своего фактического положения, а осью Y – экватор (рис. 4.2).


Рис. 4.2. Система прямоугольных координат
на топографических картах

Пересечение вынесенного осевого меридиана с экватором будет началом координат: х = 0, у = 0. Точка пересечения экватора и фактического осевого меридиана имеет координаты: х = 0, у = 500 км.
В каждой зоне имеется свое начало координат. Счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток. Первая шестиградусная зона расположена между Гринвичским меридианом и меридианом с восточной долготой 6º(осевой меридиан 3º). Вторая зона – 6º в.д. - 12º в.д (осевой меридиан 9º). Третья зона – 12º в.д. - 18º в.д. (осевой меридиан 15º). Четвертая зона – 18º в.д. - 24º в.д. (осевой меридиан 21º) и т.д.
Номер зоны обозначен в координате у первой цифрой. Например, запись у = 4 525 340 означает, что заданная точка находится в четвертой зоне (первая цифра) на расстоянии 525 340 м от осевого меридиана зоны, вынесенного западнее 500 км.

Чтобы определить номер зоны по географическим координатам, необходимо к долготе, выраженной в целых числах градусов, прибавить 6 и полученную сумму разделить на 6. В результате деления оставляем только целое число.

Пример. Определить номер зоны Гаусса для точки, имеющей восточную долготу 18º10'.
Решение. К целому числу градусов долготы 18 прибавляем 6 и сумму делим на 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Наша карта находится в четвертой зоне.

Затруднения при использовании зональной системы координат возникают в тех случаях, когда топографо-геодезические работы проводятся на приграничных участках, расположенных в двух соседних (смежных) зонах. Координатные линии таких зон располагаются под углом друг к другу (рис 4.3).

Для ликвидации возникающих осложнений введена полоса перекрытия зон, в которой координаты точек могут быть вычислены в двух смежных системах. Ширина полосы перекрытия 4°, по 2° в каждой зоне.

Дополнительная сетка на карте наносится лишь в виде выходов ее линий между минутной и внешней рамками. Оцифровка ее является продолжением оцифровки линий сетки смежной зоны. Линии дополнительной сетки подписывают за внешней рамкой листа. Следовательно, на листе карты, расположенном в восточной зоне, при соединении одноименных выходов дополнительной сетки получают километровую сетку западной зоны. Пользуясь этой сеткой, можно определить, например, прямоугольные координаты точки В в системе прямоугольных координат западной зоны, т. е. прямоугольные координаты точек А и В будут получены в одной системе координат западной зоны.

Рис. 4.3. Дополнительные километровые линии на границе зон

На карте масштаба 1:10 000 дополнительная сетка разбивается только на тех листах, у которых восточный или западный меридиан внутренней рамки (рамки трапеции) является границей зоны. На топографических планах дополнительная сетка не наносится.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ-ИЗМЕРИТЕЛЯ

Важным элементом топографической карты (плана) является прямоугольная сетка. На все листы данной 6-градусной зоны сетку наносят в виде рядов линий, параллельных осевому меридиану и экватору (рис. 4.2). Вертикальные линии сетки параллельны осевому меридиану зоны, а горизонтальные – экватору. Счет горизонтальных километровых линий ведется снизу вверх, а вертикальных – слева направо.

Интервалы между линиями на картах масштабов 1:200 000 - 1:50 000 составляют 2 см, 1:25 000 – 4 см, 1:10 000 – 10 см, что соответствует целому числу километров на местности. Поэтому прямоугольную сетку называют еще километровой, а ее линии – километровыми.
Километровые линии, ближайшие к углам рамки листа карты, подписывают полным числом километров, остальные – двумя последними цифрами. Надпись 6065 (см. рис. 4.4) на одной из горизонтальных линий означает, что эта линия удалена oт экватора на 6065 км (к северу): надпись 4307 у вертикальной линии означает, что она находится в четвертой зоне и удалена от начала счета ординат к востоку на 307 км. Если около вертикальной километровой линии записано трехзначное число мелкими цифрами, две первые обозначают номер зоны.

Пример. Надо определить по карте прямоугольные координаты точки местности, например, пункта государственной геодезической сети (ГГС) с отметкой 214,3 (рис. 4.4). Сначала записывают (в километрах) абсциссу южной стороны квадрата, в котором находится эта точка (т. е. 6065). Затем с помощью циркуля-измерителя и линейного масштаба определяют длину перпендикуляра Δх = 550 м, опушенного из заданной точки на эту линию. Полученную величину (в данном случае 550 м) добавляют к абсциссе линии. Число 6 065 550 есть абсцисса х пункта ГГС.
Ордината пункта ГГС равна ординате западной стороны того же квадрата (4307 км), сложенной с длиной перпендикуляра Δу = 250 м, измеренного по карте. Число 4 307 250 есть ордината того же пункта.
При отсутствии циркуля-измерителя расстояния измеряют линейкой или полоской бумаги
.

х = 6065550, у = 4307250
Рис. 4.4. Определение прямоугольных координат с помощью линейного масштаба

4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТОМЕРА

Координатомер – небольшой угольник с двумя перпендикулярными сторонами. По внутренним ребрам линеек нанесены шкалы, длины которых равны длине стороны координатных клеток карты данного масштаба. Деления на координатомер переносят с линейного масштаба карты.
Горизонтальная шкала совмещается с нижней линией квадрата (в котором находится точка), а вертикальная шкала должна проходить через данную точку. По шкалам определяют расстояния от точки до километровых линий.


хА  =  6135 350                уА = 5577 710  
Рис. 4.5. Определение прямоугольных координат с помощью координатомера

4.5. НАНЕСЕНИЕ НА КАРТУ ТОЧЕК ПО ЗАДАННЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ

Чтобы нанести на карту точку по заданным прямоугольным координатам, поступают следующим образом: в записи координат находят двузначные числа, которыми сокращенно обозначены линии прямоугольной сетки. По первому числу находят на карте горизонтальную линию сетки, по второму – вертикальную. Их пересечение образует юго-западный угол квадрата, в котором лежит искомая точка. На восточной и западной сторонах квадрата откладывают от его южной стороны два равных отрезка, соответствующих в масштабе карты числу метров в абсциссе х. Концы отрезков соединяют прямой линией и на ней от западной стороны квадрата откладывают в масштабе карты отрезок, соответствующий числу метров в ординате; конец этого отрезка является искомой точкой.

4.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА ПО ГЕОГРАФИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ

Плоские прямоугольные координаты Гаусса х и у весьма сложно связаны с географическими координатами φ (широта) и λ (долгота) точек земной поверхности. Предположим, что некоторая точка А имеет географические координаты φ и λ. Поскольку разность долгот граничных меридианов зоны равна 6°, то соответственно для каждой из зон можно получить долготы крайних меридианов: 1-я зона (0° – 6°), 2-я зона (6° – 12°), 3-я зона (12° – 18°) и т.д. Таким образом, по географической долготе точки А можно определить номер зоны, в которой эта точка находится. При этом долгота λос осевого меридиана зоны определится по формуле
λос = (6°n – 3°),
в которой n – номер зоны.

Для определения плоских прямоугольных координат х и у по географическим координатам φ и λ воспользуемся формулами, выведенными для референц-эллипсоида Красовского (референц-эллипсоид – фигура, максимально приближенная к фигуре Земли в той ее части, на которой находится данное государство, либо группа государств):

х = 6367558,4969 (φрад) − {a0 − [0,5 + (a4 + a6l2)l2]l2N}sinφ cosφ (4.1)
у(l) = [1+ (a3 + a5l2)l2]lNcosφ                                               (4.2)

В формулах (4.1) и (4.2) приняты следующие обозначения:
у(l)расстояние от точки до осевого меридиана зоны;
l = (λ - λос) – разность долгот определяемой точки и осевого меридиана зоны);
φрад  – широта точки, выраженная в радианной мере;
N = 6399698,902 - [21562,267 – (108,973 – 0,612 cos2φ) cos2φ ] cos2φ;
а0 = 32140,404 - [135,3302 – (0,7092 – 0,0040 cos2φ) cos2φ ] cos2φ;
а3 = (0,3333333 + 0,001123 cos2φ) cos2φ – 0,1666667;
а4 = (0,25 + 0,00252 cos2φ ) cos2φ – 0,04166;
а5 = 0,0083 - [0,1667 - (0,1968 + 0,0040 cos2φ) cos2φ ] cos2φ;
а6 = (0,166 cos2φ – 0,084) cos2φ.
у' – расстояние от осевого меридиана отнесенного западнее 500 км.

По формуле (4.1) значение координаты у(l) получают относительно осевого меридиана зоны, т.е. оно может получиться со знаками «плюс» для восточной части зоны или «минус» – для западной части зоны. Для записи координаты y в зональной системе координат необходимо вычислить расстояние до точки от осевого меридиана зоны, отнесенного западнее на 500 км'в таблице), а впереди полученного значения приписать номер зоны. Например, получено значение
у(l) =  –303678,774 м в 47 зоне.
Тогда
у = 47 (500000,000 – 303678,774) = 47196321,226 м.
Для вычислений используем электронные таблицы MicrosoftXL.

Пример. Вычислить прямоугольные координаты точки, имеющей географические координаты:
φ = 47º02'15,0543" с.ш.; λ = 65º01'38,2456" в.д.

В таблицу MicrosoftXL вводим исходные данные и формулы (таб. 4.1).

Таблица 4.1.

 

A

B

C

D

E

F

1

 

Параметр

Вычисления

Град

Мин

Сек

2

1

φ

 

47

02

15,0543

3

2

φ (град)

=D2+E2/60+F2/3600

 

 

 

4

3

φ (рад)

=РАДИАНЫ(C3)

 

 

 

5

4

Sin φ

=SIN(C4)

 

 

 

6

5

Cos φ

=COS(C4)

 

 

 

7

6

Cos2φ

=C6^2

 

 

 

8

7

λо

 

65

01

38,2456

9

8

№ зоны

=ЦЕЛОЕ((D8+6)/6)

 

 

 

10

9

λос (град)

=(6*C9)-3

 

 

 

11

10

l

 

=D8-C10

=E8

=F8

12

11

l (град)

=D11+E11/60+F11/3600

 

 

 

13

12

l (рад)

=РАДИАНЫ(C12)

 

 

 

14

13

N

=6399698,902-((21562,267-
(108,973-0,612*C6^2)*C6^2))*C6^2

 

 

 

15

14

а0

=32140,404-((135,3302-
(0,7092-0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2

 

 

 

16

15

а4

=(0,25+0,00252*C6^2)*C6^2-0,04166

 

 

 

17

16

а6

=(0,166*C6^2-0,084)*C6^2

 

 

 

18

17

а3

=(0,3333333+0,001123*C6^2)*C6^2-0,1666667

 

 

 

19

18

а5

=0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2

 

 

 

20

19

l2

=C13^2

 

 

 

21

20

Nl2

=C14*C20

 

 

 

22

21

х

=6367558,4969*C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17*C20)*C20))

*C20*C14)))*C5*C6)

 

 

 

23

22

у(l)

=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6

 

 

 

24

23

у'

=ОКРУГЛ((500000+C23);3)

 

 

 

25

24

у

=СЦЕПИТЬ(C9;C24)

 

 

 


Вид таблицы после вычислений (таб. 4.2).

Таблица 4.2.

 

A

B

C

D

E

F

1

 

Параметр

Вычисления

Град

Мин

Сек

2

1

φ (град, мин, сек)

 

47

02

15,0543

3

2

φ (градусы)

47,0375151

 

 

 

4

3

φ (радианы)

0,8209595

 

 

 

5

4

Sin φ

0,7318001

 

 

 

6

5

Cos φ

0,6815194

 

 

 

7

6

Cos2φ

0,4644686

 

 

 

8

7

λ (град, мин, сек)

 

65

01

38,2456

9

8

Номер зоны

11

 

 

 

10

9

λос (град)

63

 

 

 

11

10

l (мин, сек)

 

02

01

38,2456

12

11

l (градусы)

2,02729

 

 

 

13

12

l (радианы)

0,03538

 

 

 

14

13

N

6389707,35301

 

 

 

15

14

а0

32077,69996

 

 

 

16

15

а4

0,07500

 

 

 

17

16

а6

-0,00320

 

 

 

18

17

а3

-0,01160

 

 

 

19

18

а5

-0,02627

 

 

 

20

19

l2

0,00125

 

 

 

21

20

N

7999,58855

 

 

 

22

21

х

5213504,619

 

 

 

23

22

у(l)

154079,96640

 

 

 

24

23

у'

654079,96600

 

 

 

25

24

у

11654079,966

 

 

 


4.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПО ПЛОСКИМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ ГАУССА

Для решения данной задачи также используются формулы пересчета, полученные для референц-эллипсоида Красовского.
Предположим, что нам необходимо вычислить географические координаты φ и λ точки А по ее плоским прямоугольным координатам х и у, заданным в зональной системе координат. При этом значение координаты у записано с указанием номера зоны и с учетом переноса осевого меридиана зоны западнее на 500 км.
Предварительно по значению у находят номер зоны, в которой расположена определяемая точка, по номеру зоны определяют долготу λo осевого меридиана и по расстоянию от точки до отнесенного на запад осевого меридиана находят расстояние у(l) от точки до осевого меридиана зоны (последнее может быть со знаком плюс или минус).
Значения географических координат φ и λ по плоским прямоугольным координатам х и у находят по формулам:

φ = φх – [1 – ( b4 – 0,12 z2) z2 ] z2b2ρ″                 (4.3)
λ = λ0 + l                                             (4.4)
l = [1 – ( b3 – b5z2)z2] zρ″               (4.5)

В формулах (4.3) и (4.5) :
φх″= β″ +{50221746 + [293622 + (2350 + 22cos2β)cos2β]cos2β}10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = ( Х / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264,8062″  – число секунд в одном радиане
z = У(L) / ( Nx сos φx );
Nх = 6399698,902 - [21562,267 – (108,973 – 0,612 cos2φх) cos2φх] cos2φх;
b2 = (0,5 + 0,003369 cos2φх ) sin φх cos φх ;
b3 = 0,333333 – ( 0,166667 – 0,001123 cos2 φх ) cos2 φх ;
b4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 сos2φх) cos2φх ;
b5 = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 сos2φх) cos2φх .

Для вычислений используем электронные таблицы MicrosoftXL.
Пример. Вычислить географические координаты точки по прямоугольным:
x = 5213504,619;  y = 11654079,966.

В таблицу MicrosoftXL вводим исходные данные и формулы (таб. 4.3).

Таблица 4.3.

 

A

B

C

D

E

F

1

 

Параметр

Вычисление

Град.

Мин.

Сек.

2

1

х

5213504,619

 

 

 

3

2

у

11654079,966

 

 

 

4

3

№*зоны

=ЕСЛИ(C3<1000000;
C3/100000;C3/1000000)

 

 

 

5

4

№ зоны

=ЦЕЛОЕ(C4)

 

 

 

6

5

λоос

=C5*6-3

 

 

 

7

6

у'

=C3-C5*1000000

 

 

 

8

7

у(l)

=C7-500000

 

 

 

9

8

ρ″

206264,8062

 

 

 

10

9

β"

=C2/6367558,4969*C9

 

 

 

11

10

β рад

=РАДИАНЫ(C10/3600)

 

 

 

12

11

β

 

=ЦЕЛОЕ
(C10/3600)

=ЦЕЛОЕ
((C10-D12*3600)/60)

=C10-D12*
3600-E12*60

13

12

Sin β

=SIN(C11)

 

 

 

14

13

Cos β

=COS(C11)

 

 

 

15

14

Cos2β

=C14^2

 

 

 

16

15

φх"

=C10+(((50221746+((293622+
(2350+22*C14^2)*C14^2))*C14^2)))
*10^-10*C13*C14*C9

 

 

 

17

16

φх рад

=РАДИАНЫ(C16/3600)

 

 

 

18

17

φх

 

=ЦЕЛОЕ
(C16/3600)

=ЦЕЛОЕ
((C16-D18*3600)/60)

=C16-D18*
3600-E18*60

19

18

Sin φ.

=SIN(C17)

 

 

 

20

19

Cos φх

=COS(C17)

 

 

 

21

20

Cos2φх

=C20^2

 

 

 

22

21

Nх

=6399698,902-((21562,267-
(108,973-0,612*C21)*C21))*C21

 

 

 

23

22

ΝхCosφх

=C22*C20

 

 

 

24

23

z

=C8/(C22*C20)

 

 

 

25

24

z2

=C24^2

 

 

 

26

25

b4

=0,25+(0,16161+0,00562*C21)*C21

 

 

 

27

26

b2

=(0,5+0,003369*C21)*C19*C20

 

 

 

28

27

b3

=0,333333-(0,166667-0,001123*C21)*C21

 

 

 

29

28

b5

=0,2-(0,1667-0,0088*C21)*C21

 

 

 

30

29

φ"

=C16-((1-(C26-0,12
*C25)*C25))*C25*C27*C9

 

 

 

31

30

φ

 

=ЦЕЛОЕ
(C30/3600)

=ЦЕЛОЕ
((C30-D31*3600)/60)

=C30-D31*
3600-E31*60

32

31

l"

=((1-(C28-C29*C25)*C25))*C24*C9

 

 

 

33

32

l0

 

=ЦЕЛОЕ
(C32/3600)

=ЦЕЛОЕ
((C32-D33*3600)/60)

=C32-D33*
3600-E33*60

34

33

λ

 

=C6+D33

=E33

=F33


Вид таблицы после вычислений (таб. 4.4).

Таблица 4.4.

 

A

B

C

D

E

F

1

 

Параметр

Вычисление

Град.

Мин.

Сек.

2

1

х

5213504,619

 

 

 

3

2

у

11654079,966

 

 

 

4

3

Номер зоны*

11,654080

 

 

 

5

4

Номер зоны

11

 

 

 

6

5

λоос (град)

63

 

 

 

7

6

у'

654079,966

 

 

 

8

7

у(l)

154079,966

 

 

 

9

8

ρ″

206264,8062

 

 

 

10

9

β"

168881,4512

 

 

 

11

10

β рад

0,818760381

 

 

 

12

11

β

 

46

54

41,4512

13

12

Sin β

0,730299573

 

 

 

14

13

Cos β

0,683127026

 

 

 

15

14

Cos2β

0,466662533

 

 

 

16

15

φх"

169399,6629

 

 

 

17

16

φхрад

0,821272742

 

 

 

18

17

φх

 

47

03

19,6629

19

18

Sin φ.

0,732013529

 

 

 

20

19

Cos φх

0,681290095

 

 

 

21

20

Cos2φх

0,464156194

 

 

 

22

21

Nх

6389714,058

 

 

 

23

22

Νх Cos φх

4353248,900

 

 

 

24

23

z

0,035394247

 

 

 

25

24

z2

0,001252753

 

 

 

26

25

b4

0,326223061

 

 

 

27

26

b2

0,250136643

 

 

 

28

27

b3

0,25621542

 

 

 

29

28

b5

0,124521043

 

 

 

30

29

φ"

169335,0543

 

 

 

31

30

φ

 

47

02

15,0543

32

31

l"

7298,245583

 

 

 

33

32

l0

 

2

01

38,2456

34

33

λ

 

65

01

38,2456

Если вычисления произведены верно, копируем обе таблицы на один лист, скрываем строки промежуточных вычислений и колонку № п/п, а оставляем только строки ввода исходных данных  и результатов вычислений. Форматируем таблицу и корректируем названия колонок и столбцов по вашему усмотрению.

Рабочие таблицы могут выглядеть так

Таблица 4.5.

11

Примечания.
1. В зависимости от требуемой точности можно увеличить или уменьшить разрядность.
2. Количество строк в таблице можно сократить, объединив вычисления. Например, радианы угла не вычислять отдельно, а сразу записать в формулу =SIN(РАДИАНЫ(C3)).
3. Округление в п. 23 табл. 4.1. производим для «сцепления». Число разрядов в округлении 3.
4. Если не изменить формат ячеек в колонках «Град» и  «Мин», то нулей перед цифрами не будет. Изменение формата здесь выполнено только для зрительного восприятия (по решению автора) и на результаты вычислений не влияет.
5. Чтобы случайно не повредить формулы, следует защитить таблицу: Сервис / Защитить лист. Перед защитой выделить ячейки для ввода исходных данных, а затем: Формат  ячеек / Защита / Защищенная ячейка  – убрать галочку.

4.8. СВЯЗЬ ПЛОСКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМ КООРДИНАТ

Простота полярной системы координат и возможность ее построения относительно любой точки местности, принимаемой за полюс, обусловили ее широкое применение в топографии. Чтобы связать воедино полярные системы отдельных точек местности, необходимо перейти к определению положения последних в прямоугольной системе координат, которая может быть распространена на значительно большую по площади территорию. Связь между двумя системами устанавливается решением прямой и обратной геодезических задач.
Прямая геодезическая задача состоит в определении координат конечной точки В (рис. 4.4)  линии АВ по длине ее горизонтального проложения d, направлению α и координатам начальной точки хА,
уА.


Рис. 4.6. Решение прямой и обратной геодезических задач

Так, если принять точку А (рис. 4.4) за полюс полярной системы координат, а прямую АВ – за полярную ось, параллельную оси ОХ, то полярными координатами точки В будут d и α. Необходимо вычислить прямоугольные координаты этой точки в системе ХОУ.

Из рис. 3.4 видно, что хВ отличается от хА на величину (хВхА) = ΔхАВ, а уВ отличается от уА на величину (уВуА) = ΔуАВ. Разности координат конечной В и начальной А точек линии АВ Δх и Δу называют приращениями координат. Приращениями координат являются ортогональные проекции линии АВ на оси координат. Координаты хВ и уВ могут быть вычислены по формулам:


хВ = хА + ΔхАВ                                        (4.1)
уВ = уА + ΔуАВ                                        (4.2)

Значения приращений определяют из прямоугольного треугольника АСВ по заданным d и α, так как приращения Δх и Δу являются катетами этого прямоугольного треугольника:

ΔхАВ =dcos α                       (4.3)
ΔуАВ = dsin α                        (4.4)


Знак приращений координат зависит от угла положения.

Таблица 4.1.


Четверти

Угол положения

Знаки координат

x

у

I
II
III
IV

0º – 90º (СВ)
90º – 180º (ЮВ)
180º – 270º (ЮЗ)
270º – 390º (СЗ)

+


+

+
+

 

Подставив значение приращений ΔхАВ и ΔуАВ в формулы (3.1 и 3.2), получим формулы для решения прямой геодезической задачи:

хВ = хА + dcos α                                           (4.5)
уВ = уА + dsin α                                            (4.6)

Обратная геодезическая задача заключается в определении длины горизонтального проложения d и направления α линии АВ по данным координатам ее начальной точки А (хА, уА) и конечной В (хВ, уВ). Угол направления вычисляется по катетам прямоугольного треугольника:

tg α =                               (4.7)

Горизонтальное проложение d, определяют по формуле:

d =                       (4.8)

Для решения прямой и обратной геодезической задачи можно воспользоваться электронными таблицами Microsoft Excel.

Пример.
Задана точка А с координатами:  хА = 6068318,25; уА = 4313450,37. Горизонтальное проложение (d) между точкой А и точкой В равно 5248,36 м. Угол между северным направлением оси ОХ и направлением на точку В (угол положения – α) равен 30º.

Рассчитать прямоугольные координаты точки В (хВ, уВ).

Вводим исходные данные и формулы в электронные таблицы Microsoft Excel (таб. 4.2).

Таблица 4.2.

 

A

B

 1

Исходные данные

 2

хА

6068318,25

 3

уА

4313450,37

 4

d (м)

5248,36

 5

α (м)

30

 6

Вычисления 

 7

ΔхАВ = d cos α

=B4*COS(РАДИАНЫ(B5))

 8

ΔуАВ = d sin α

=B4*SIN(РАДИАНЫ(B5))

 9

хВ

=B2+B7

 10

уВ

=B3+B8


Вид таблицы после вычислений (таб. 4.3).

Таблица 4.3.

 

A

B

 1

Исходные данные

 2

хА

6068318,25

 3

уА

4313450,37

 4

d (м)

5248,36

 5

α (м)

30

 6

Вычисления 

 7

ΔхАВ = d cos α

4545,21

 8

ΔуАВ = d sin α

2624,18

 9

хВ

6072863,46

 10

уВ

4316074,55

 

Пример.
Заданы точки А и В с координатами:
хА = 6068318,25;   уА = 4313450,37;
хВ = 6072863,46;   уВ = 4313450,37.
Рассчитать горизонтальное проложение d между точкой А и точкой В, а также угол α между северным направлением оси ОХ и направлением на точку В.
Вводим исходные данные и формулы в электронные таблицы Microsoft Excel (таб. 4.4).

Таблица 4.4.

 

А

В

1

Исходные данные

2

хА

6068318,24

3

уА

4313450,36

4

хВ

6072863,45

5

уВ

4310074,54

6

Вычисления

7

ΔхАВ

=B4-B2

8

ΔуАВ

=B5-B3

9

d

=КОРЕНЬ(B7^2+B8^2)

10

Тангенс

=B8/B7

11

Арктангенс

=ATAN(B10)

12

Градусы

=ГРАДУСЫ(B11)

13

Выбор

=ЕСЛИ(B12<0;B12+180;B12)

14

Угол положения (град)

=ЕСЛИ(B8<0;B13+180;B13)

 

Вид таблицы после вычислений (таб. 4.5).

Таблица 4.5.

 

А

В

1

Исходные данные

2

хА

6068318,24

3

уА

4313450,36

4

хВ

6072863,45

5

уВ

4310074,54

6

Вычисления

7

ΔхАВ

4545,21

8

ΔуАВ

-3375,82

9

d

5661,72

10

Тангенс

-0,7427

11

Арктангенс

-0,6388

12

Градусы

-37

13

Выбор

143

14

Угол положения (град)

323

Если ваши вычисления совпали с вычислениями учебного пособия, скройте промежуточные расчеты, отформатируйте и защитите таблицу.

Видео
Прямоугольные координаты

 

 

Вопросы и задания для самоконтроля

  1. Какие величины называют прямоугольными координатами?
  2. На какой поверхности применяют прямоугольные координаты?
  3. В чем заключается суть зональной системы прямоугольных координат?
  4. Назовите номер шестиградусной зоны, в которой находится г. Луганск с координатами: 48°35′ с.ш. 39°20′ в.д.
  5. Рассчитайте долготу осевого меридиана шестиградусной зоны, в которой находится г. Луганск.
  6. Как ведется счет координат х и у в прямоугольной системе координат Гаусса?
  7. Объясните порядок определения прямоугольных координат на топографической карте с помощью циркуля-измерителя.
  8. Объясните порядок определения прямоугольных координат на топографической карте с помощью координатомера.
  9. В чем сущность прямой геодезической задачи?
  10. В чем сущность обратной геодезической задачи?
  11. Какую величину называют приращением координат?
  12. Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
  13. Как можно применить в топографии теорему Пифагора о соотношении между сторонами прямоугольного треугольника?

 

 

 

 

 

Яндекс.Метрика