« »

Тема 7. ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И ПЛОЩАДЕЙ ПО ТОПОГРАФИЧЕСКИМ КАРТАМ

7.1. ТЕХНИКА ИЗМЕРЕНИЯ И ОТКЛАДЫВАНИЯ РАССТОЯНИЙ НА КАРТЕ

Для измерения расстояний по карте используют миллиметровую или масштабную линейку, циркуль-измеритель, а для измерения кривых линий – курвиметр.

7.1.1. Измерение расстояний миллиметровой линейкой

Миллиметровой линейкой измерить расстояние между заданными точками на карте с точностью 0,1 см. Полученное число сантиметров умножить на величину именованного масштаба. Для равнинной местности результат будет соответствовать расстоянию на местности в метрах или километрах.
Пример. На карте масштаба 1 : 50 000 (в 1 см – 500 м) расстояние между двумя точками равно 3,4 см. Определить расстояние между этими точками.
Решение. Именованный масштаб: в 1 см 500 м. Расстояние на местности между точками будет 3,4 × 500 = 1700 м.
При углах наклона земной поверхности более 10º необходимо ввести соответствующую поправку (см. далее).

7.1.2. Измерение расстояний циркулем-измерителем

При измерении расстояния по прямой линии иглы циркуля устанавливают на конечные точки, затем, не изменяя раствора циркуля, по линейному или поперечному масштабу отсчитывают расстояние. В том случае, когда раствор циркуля превышает длину линейного или поперечного масштаба, целое число километров определяется по квадратам координатной сетки, а остаток – обычным порядком по масштабу.

Измерение расстояний по линейному масштабу
Рис. 7.1. Измерение расстояний циркулем-измерителем по линейному масштабу.

Для получения длины ломаной линии последовательно измеряют длину каждого ее звена, а затем суммируют их величины. Такие линии измеряют также наращиванием раствора циркуля.
Пример. Чтобы измерить длину ломаной АВСD (рис. 7.2, а), ножки циркуля сначала ставят в точки А и В. Затем, вращая циркуль вокруг точки В. перемещают заднюю ножку из точки А в точку В', лежащую на продолжении прямой ВС.
Переднюю ножку из точки В переносят в точку С. В результате получают раствор циркуля В'С=АВ+ВС. Переместив аналогичным образом заднюю ножку циркуля из точки В' в точку С', а переднюю из С в D. получают раствор циркуля
С'D = В'С + СD, длину которого определяют с помощью поперечного или линейного масштаба.


Рис. 7.2. Измерение длины линии: а – ломаной ABCD; б – кривойA1B1C1;
 B'C' – вспомогательные точки

 

Длинные кривые отрезки измеряют по хордам шагами циркуля (см. рис. 7.2, б). Шаг циркуля, равный целому числу сотен или десятков метров, устанавливают с помощью поперечного или линейного масштаба. При перестановке ножек циркуля вдоль измеряемой линии в направлениях, показанных на рис. 7.2, б стрелками, считают шаги. Общая длина линии А1С1 складывается из отрезка А1В1, равного величине шага, умноженной на число шагов, и остатка В1С1 измеряемого по поперечному или линейному масштабу.

 

7.1.3. Измерение расстояний курвиметром

Кривые отрезки измеряют механическим (рис. 7.3) или электроннным (рис. 7.4)  курвиметром.

Картинка 5 из 1424
Рис. 7.3. Курвиметр механический

Сначала, вращая колесико рукой, устанавливают стрелку на нулевое деление, затем прокатывают колесико по измеряемой линии. Отсчет на циферблате против конца стрелки (в сантиметрах) умножают на величину масштаба карты и получают расстояние на местности. Цифровой курвиметр (рис. 7.4.) – это высокоточный, удобный в использовании прибор. Курвиметр включает архитектурные и инженерные функции и имеет удобный дисплей для чтения информации. Этот прибор может обрабатывать метрические и англо-американские (футы, дюймы, и т.д.) значения, что позволяет работать с любыми картами и чертежами. Можно ввести наиболее часто используемый вид измерений, и прибор автоматически будет переводить масштабные измерения.

Картинка 15 из 1424
Рис. 7.4. Курвиметр цифровой (электронный)

Для повышения точности и надежности результатов рекомендуется все измерения проводить дважды – в прямом и обратном направлениях. В случае незначительных различий измеренных данных за конечный результат принимается среднее арифметическое значение измеренных величин.
Точность измерения расстояний указанными способами с применением линейного масштаба составляет 0,5 – 1,0 мм в масштабе карты. То же самое, но с применением поперечного масштаба составляет 0,2 – 0,3 мм на 10 см длины линии.

7.1.4. Пересчет горизонтального проложения в наклонную дальность

Следует помнить, что в результате измерения расстояний по картам, получают длины горизонтальных проекций линий (d), а не длины линий на земной поверхности (S) (рис. 7.5).



Рис. 7.5. Наклонная дальность (S) и горизонтальное проложение (d)

Действительное расстояние на наклонной поверхности можно вычислить по формуле:


где  d – длина горизонтальной проекции линии S;
       α  – угол наклона земной поверхности.

Длину линии на топографической поверхности можно определить с помощью таблицы (табл.7.1) относительных величин поправок к длине горизонтального проложения (в %).

Таблица 7.1

Угол наклона

0

0,00

0,02

0,06

0,14

0,24

0,38

0,55

0,75

0,98

1,25

1

1,54

1,87

2,23

2,63

3,06

3,53

4,03

4,57

5,15

5,76

2

6,42

7,11

7,85

8,64

9,46

10,34

11,26

12,23

13,25

14,34

3

15,47

16,66

17,92

19,24

20,62

22,08

23,61

25,21

26,90

28,68

Правила пользования таблицей


1. В первой строке таблицы (0 десятков) приведены относительные величины поправок при углах наклона от 0° до 9°, во второй – от 10° до 19°, в третьей – от 20° до 29°, в четвертой – от 30° до 39°.
2. Чтобы определить абсолютную величину поправки, необходимо:
а) в таблице по углу наклона найти относительную величину поправки (если угол наклона топографической поверхности задан не целым числом градусов, то надо относительную величину поправки найти интерполированием между табличными величинами);
б) вычислить абсолютную величину поправки к длине горизонтального проложения (т. е. эту длину умножить на относительную величину поправки и полученное произведение разделить на 100).
3. Чтобы определить длину линии на топографической поверхности, надо вычисленную абсолютную величину поправки прибавить к длине горизонтального проложения.

Пример. На топографической карте определена длина горизонтального проложения 1735 м, угол наклона топографической поверхности – 7°15′. В таблице относительные величины поправок приведены для целых градусов. Следовательно, для 7°15' необходимо определить ближайшую большую и ближайшую меньшую величины кратные одному градусу – 8º и 7º:
  для 8° относительная величина поправки         0,98%;
  для 7°                                               0,75%;
  разность табличных величин в 1º (60′)    0,23%;
  разность между заданным углом наклона земной поверхности 7°15' и ближайшей меньшей табличной величиной 7º составляет 15'.
Составляем пропорции и находим относительную величину поправки для 15':

Для 60′ поправка составляет     0,23%;
Для 15′ поправка составляет     х%
х% = = 0,0575 ≈ 0,06%

Относительная величина поправки для угла наклона 7°15'
                             0,75%+0,06% = 0,81%
Затем надо определить абсолютную величину поправки:
                          = 14,05 м» 14 м.
Длина наклонной линии на топографической поверхности будет:
                         1735 м + 14 м = 1749 м.

При малых углах наклона (менее 4° – 5°) разница в длине наклонной линии и ее горизонтальной проекции очень мала и может не учитываться.

7.2. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПО КАРТАМ

Определение площадей участков по топографическим картам основано на геометрической зависимости между площадью фигуры и ее линейными элементами. Масштаб площадей равен квадрату линейного масштаба.
Если стороны прямоугольника на карте уменьшены в n раз, то площадь этой фигуры уменьшится в n2 раз. Для карты масштаба 1:10 000 (в 1 см 100 м) масштаб площадей будет равен (1 : 10 000)2 или в 1 см2 будет 100 м × 100 м = 10 000 м2 или 1 га, а на карте масштаба 1:1 000 000 в 1 см2 – 100 км2.
Для измерения площадей по картам применяют графические, аналитические и инструментальные способы. Применение того или иного способа измерений обусловлено формой измеряемого участка, заданной точностью результатов измерений, требуемой быстротой получения данных и наличием необходимых приборов.

7.2.1. Измерение площади участка с прямолинейными границами

При измерении площади участка с прямолинейными границами участок делят на простые геометрические фигуры, измеряют площадь каждой из них геометрическим способом и, суммируя площади отдельных участков, вычисленных с учетом масштаба карты, получают общую площадь объекта.

7.2.2. Измерение площади участка с криволинейным контуром

Объект с криволинейным контуром разбивают на геометрические фигуры, предварительно спрямив границы с таким расчетом, чтобы сумма отсеченных участков и сумма избытков взаимно компенсировали друг друга (рис. 7.6). Результаты измерений будут, в некоторой степени, приближенными.

Рис. 7.6. Спрямление криволинейных границ участка и
разбивка его площади на простые геометрические фигуры

7.2.3. Измерение площади участка со сложной конфигурацией

Измерение площадей участков, имеющих сложную неправильную конфигурацию, чаще производят с помощью палеток и планиметров, что дает наиболее точные результаты. Сеточная палетка представляет собой прозрачную пластину с сеткой квадратов (рис. 9.9).


Рис. 7.7. Квадратная сеточная палетка

Палетку накладывают на измеряемый контур и по ней подсчитывают количество клеток и их частей, оказавшихся внутри контура. Доли неполных квадратов оцениваются на глаз, поэтому для повышения точности измерений применяются палетки с мелкими квадратами (со стороной 2 – 5 мм). Перед работой на данной карте определяют площадь одной ячейки.
Площадь участка рассчитывается по формуле:

Р = а2n ,

Где: а – сторона квадрата, выраженная в масштабе карты;
n – число квадратов, попавших в пределы контура измеряемого участка

Для повышения точности площадь определяют несколько раз с произвольной перестановкой используемой палетки в любое положение, в том числе и с поворотом относительно ее первоначального положения. За окончательное значение площади принимают среднее арифметическое из результатов измерений.

Помимо сеточных палеток, применяют точечные и параллельные палетки, представляющие собой прозрачные пластины с награвированными точками или линиями. Точки ставятся в одном из углов ячеек сеточной палетки с известной ценой деления, затем линии сетки удаляют (рис. 7.8).


Рис. 7.8. Точечная палетка

Вес каждой точки равен цене деления палетки. Площадь измеряемого участка определяют путем подсчета количества точек, оказавшихся внутри контура, и умножают это количество на вес точки.
На параллельной палетке награвированы равноотстоящие параллельные прямые (рис. 7.9). Измеряемый участок, при наложении на него палетки, окажется разделенным на ряд трапеций с одинаковой высотой h. Отрезки параллельных линий внутри контура (посредине между линиями) являются средними линиями трапеций. Для определения площади участка с помощью этой палетки необходимо сумму всех измеренных средних линий умножить на расстояние между параллельными линиями палетки h(с учетом масштаба).

P = hl

Рис 7.9. Палетка, состоящая из системы
 параллельных линий

Измерение площадей значительных участков производится по картам с помощью планиметра.

Картинка 59 из 62
Рис. 7.10. Полярный планиметр

Планиметр служит для определения площадей механическим способом. Широкое распространение имеет полярный планиметр (рис. 7.10). Он состоит из двух рычагов – полюсного и обводного. Определение площади контура планиметром сводится к следующим действиям. Закрепив полюс и установив иглу обводного рычага в начальной точке контура, берут отсчет. Затем обводной шпиль осторожно ведут по контуру до начальной точки и берут второй отсчет. Разность отсчетов даст площадь контура в делениях планиметра. Зная абсолютную цену деления планиметра, определяют площадь контура.
Развитие техники способствует созданию новых приборов, повышающих производительность труда при вычислении площадей, в частности – использование современных приборов, среди которых – электронные планиметры.


Рис. 7.11. Электронный планиметр

7.2.4. Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин
(аналитический способ)

Данный способ позволяет определить площадь участка любой конфигурации, т.е. с любым числом вершин, координаты которых (х,y) известны. При этом нумерация вершин должна производиться по ходу часовой стрелки.
Как видно из рис. 7.12, площадь S многоугольника 1-2-3-4 можно рассматривать как разность площадей S' фигуры 1у-1-2-3-3у и S" фигуры 1y-1-4-3-3у
S = S' - S".



Рис. 7.12. К вычислению площади многоугольника по координатам.

В свою очередь каждая из площадей S' и S" представляет собой сумму площадей трапеций, параллельными сторонами которых являются абсциссы соответствующих вершин многоугольника, а высотами – разности ординат этих же вершин, т. е.
S' = пл. 1у-1-2-2у + пл. 2у-2-3-3у,
S" = пл 1у-1-4-4у + пл. 4у-4-3-3у
или:

2S' = 1 + х2) (у2у1) + 2 + x3) (у3 - у2)
2S" = 1 + х4) (у4у1) + 4 + х3) (у3 - у4).
Таким образом,
2S = 1 + х2) (у2у1) + 2 + x3) (у3 - у2) – 1 + х4) (у4у1) - 4 + х3) (у3 - у4).

Раскрыв скобки, получаем
2S = х1у2х1у4 + х2 у3x2у1 + х3у4 - х3 у24 у1 - х4у3

Отсюда
2S = х12 - у4) + х23 - у1)+ х34 - у2)+х41 - у3)        (7.1)
2S = y14 - х2) + y21х3)+y3(х2 - х4)+ y43 - х1)        (7.2)

Представим выражения (7.1) и (7.2) в общем виде, обозначив через i порядковый номер (i = 1, 2, ..., п) вершины многоугольника:
2S =            (7.3)
2S =             (7.4)

Следовательно, удвоенная площадь многоугольника равна либо сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей вершин многоугольника, либо сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс предыдущей и последующей вершин многоугольника.

Промежуточным контролем вычислений является удовлетворение условий:
= 0    или      = 0

Значения координат и их разности обычно округляются до десятых долей метра, а произведения – до целых квадратных метров.
Сложные формулы по расчету площади участка можно легко решить с помощью электронных таблиц MicrosoftXL. Пример для многоугольника (полигона) из 5 точек приведен в таблицах 7.2, 7.3.
В таблицу 7.2 вводим исходные данные и формулы.

Таблица 7.2.

 

A

B

C

D

1

№ т.

х

у

yi(xi-1 - xi+1)

2

1

6068120

4310250

=C2*(B6-B3)

3

2

6069350

4311780

=C3*(B2-B4)

4

3

6070540

4313350

=C4*(B3-B5)

5

4

6069680

4316140

=C5*(B4-B6)

6

5

6067840

4315520

=C6*(B5-B2)

7

Двойная площадь в м2

=СУММ(D2:D6)

8

Площадь в гектарах

=D7/2/10000

 

В таблице 7.3 видим результаты вычислений.

Таблица 7.3.

 

A

B

C

D

1

№ точ.

х

у

yi(xi-1-xi+1)

2

1

6068120

4310250

-6508477500

3

2

6069350

4311780

-10434507600

4

3

6070540

4313350

-1423405500

5

4

6069680

4316140

11653578000

6

5

6067840

4315520

6732211200

7

Двойная площадь в м2

19398600

8

Площадь в гектарах

969,93


7.3. ГЛАЗОМЕРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ НА КАРТЕ

В практике картометрических работ широко используют глазомерные измерения, которые дают приблизительные результаты. Однако умение глазомерно определить по карте расстояния, направления, площади, крутизну склона и другие характеристики объектов способствует овладению навыками правильного понимания картографического изображения. Точность глазомерных определений повышается с приобретением опыта. Глазомерные навыки предупреждают грубые просчеты в измерениях приборами.
Для определения длины линейных объектов по карте следует глазомерно сравнить величину этих объектов с отрезками километровой сетки или делениями линейного масштаба.

Для определения площадей объектов как своеобразную палетку используют квадраты километровой сетки. Каждому квадрату сетки карт масштабов 1:10 000 – 1:50 000 на местности соответствует 1 км2 (100 га), масштабу 1:100 000 – 4 км2, 1:200 000 – 16 км2.

Точность количественных определений по карте, с развитием глазомера, составляет 10-15% измеряемой величины.

Вопросы и задания для самоконтроля

  1. Объясните порядок измерения на карте прямой линии.
  2. Объясните порядок измерения на карте ломаной линии.
  3. Объясните порядок измерения на карте кривой извилистой линии с помощью циркуля-измерителя.
  4. Объясните порядок измерения на карте кривой извилистой линии с помощью курвиметра.
  5. Перечислите и поясните способы пересчета величины горизонтального проложения в наклонную дальность.
  6. Какая геометрическая зависимость между площадью фигуры и ее линейными элементами?
  7. Объясните порядок определения площади участка с прямолинейными границами.
  8. Объясните порядок определения площади участка с криволинейным контуром.
  9. Объясните порядок определения площади участка с помощью сеточной палетки.
  10. Объясните порядок определения площади участка с помощью точечной палетки.
  11. Объясните порядок определения площади участка с помощью параллельной палетки.
  12. Объясните порядок определения площади участка с помощью планиметра.
  13. Объясните порядок вычисления площади многоугольника по координатам его вершин.
  14. Как глазомерно по топографической карте можно определить длину линейного объекта?
  15. Какой площади на местности соответствует один квадрат координатной сетки карты масштаба 1:25 000?