« »

Тема 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

11.1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

 Измерением называют процесс сравнения измеряемой величины с другой, принятой за единицу измерения известной величиной.
Все величины, с которыми мы имеем дело, подразделяют на измеренные и вычисленные. Измеренной величиной называют ее приближенное значение, найденное путем сравнения с однородной единицей меры. Так, последовательно укладывая землемерную ленту по оси квартальной просеки и подсчитывая число уложений, находят приближенное значение длины просеки.
Вычисленной величиной называют ее значение, определенное по другим измеренным величинам, функционально с ней связанным. Например, площадь квартала прямоугольной формы есть произведение его измеренных длины и ширины.
Для обнаружения промахов (грубых ошибок) и повышения точности результатов одну и ту же величину измеряют несколько раз. По точности такие измерения подразделяют на равноточные и неравноточные. Равноточные – однородные многократные результаты измерения одной и той же величины, выполненные одним и тем же прибором (или разными приборами одного и того же класса точности), одинаковыми способом и числом приемов, в идентичных условиях. Неравноточные – измерения, выполненные при несоблюдении условий равноточности.
При математической обработке результатов измерений большое значение имеет число измеренных величин. Например, чтобы получить величину каждого угла треугольника, достаточно измерить лишь два из них – это и будет необходимое число величин. В общем случае для решения любой топографо-геодезической задачи необходимо измерить некоторое минимальное число величин, обеспечивающее решение поставленной задачи. Их называют числом необходимых величинили измерений. Но чтобы судить о качестве измерений, проконтролировать их правильность и повысить точность результата, измеряют и третий угол треугольника – избыточный. Числом избыточных величин (k)называют разность между числом всех измеренных величин (п) и числом необходимых величин (t):
k = п – t
В топографо-геодезической практике избыточные измеренные величины обязательны. Они позволяют обнаруживать ошибки (погрешности) в измерениях и вычислениях и повышают точность определяемых величин.
По физическому исполнению измерения могут быть прямые, косвенные и дистанционные.
Прямые измерения являются простейшими и в историческом плане первыми видами измерений, например, измерение длин линий землемерной лентой или рулеткой.
Косвенные измерения основываются на использовании некоторых математических зависимостей между искомыми и непосредственно измеряемыми величинами. Например, площадь прямоугольника на местности определяют, измерив длины его сторон.
Дистанционные измерения основываются на использовании ряда физических процессов и явлений и, как правило, связаны с использованием современных технических средств: светодальномеров, электронных тахеометров, фототеодолитов и т.д.

Измерительные приборы, используемые в топографо-геодезическом производстве, можно разделить на три основных класса:

11.2. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

При многократном измерении одной и той же величины каждый раз получают несколько отличающиеся результаты, как по абсолютной величине, так и по знакам, каким бы опытом не обладал исполнитель и какими бы высокоточными приборами он не пользовался.
Погрешности различают: грубые, систематические и случайные.
Появление грубых погрешностей (промахов) связано с серьезными ошибками при производстве измерительных работ. Эти ошибки легко выявляются и устраняются в результате контроля измерений.
Систематические погрешностивходят в каждый результат измерений по строго определенному закону. Они обусловлены влиянием конструкции измерительных приборов, погрешностями градуировки их шкал, износом и т. д. (инструментальные погрешности)иливозникают из-за недоучета условий измерений и закономерностей их изменений, приближенности некоторых формул и др. (методические погрешности). Систематические погрешности делятся на постоянные(неизменные по знаку и вели чине) и переменные(изменяющие свою величину от одного измерения к другому по определенному закону).
Такие погрешности заранее определимы и могут быть сведены к необходимому минимуму путем введения соответствующих поправок.
Например, заранее может быть учтено влияние кривизны Земли на точность определения вертикальных расстояний, влияние температуры воздуха и атмосферного давления при определении длин линий светодальномерами или электронными тахеометрами, заранее можно учесть влияние рефракции атмосферы и т. д.
Если не допускать грубых погрешностей и устранять систематические, то качество измерений будет определяться только случайными погрешностями. Эти погрешности неустранимы, однако их поведение подчиняется законам больших чисел. Их можно анализировать, контролировать и сводить к необходимому минимуму.
Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результаты измерений прибегают к многократным измерениям, к улучшению условий работы, выбирают более совершенные приборы, методы измерений и осуществляют тщательное их производство.
Сопоставляя ряды случайных погрешностей равноточных измерений можно обнаружить, что они обладают следующими свойствами:
а) для данного вида и условий измерений случайные погрешности не могут превышать по абсолютной величине некоторого предела;
б) малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших;
в) положительные погрешности появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные;
г) среднее арифметическое из случайных погрешностей одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Распределение ошибок, соответствующее указанным свойствам, называется нормальным (рис. 11.1).


Рис. 11.1. Кривая нормального распределения случайных погрешностей Гаусса

Разность между результатом измерения некоторой величины (l) и ее истинным значением (X) называют абсолютной (истинной) погрешностью.

Δ = l - X

Истинное (абсолютно точное) значение измеряемой величины получить невозможно, даже используя приборы самой высокой точности и самую совершенную методику измерений. Лишь в отдельных случаях может быть известно теоретическое значение величины. Накопление погрешностей приводит к образованию расхождений между результатами измерений и действительными их значениями.
Разность суммы практически измеренных (или вычисленных) величин и теоретического ее значения называется невязкой. Например, теоретическая сумма углов в плоском треугольнике равна 180º, а сумма измеренных углов оказалась равной 180º02'; тогда погрешность суммы измеренных углов составит +0º02'. Эта погрешность будет угловой невязкой треугольника.
Абсолютная погрешность не является, полным показателем точности выполненных работ. Например, если некоторая линия, фактическая длина которой составляет 1000 м, измерена землемерной лентой с ошибкой 0,5 м, а отрезок длиною 200 м  – с ошибкой 0,2 м, то, несмотря на то, что абсолютная погрешность первого измерения больше второго, все же первое измерение было выполнено с точностью в два раза более высокой. Поэтому вводят понятие относительной погрешности:
Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины Δ к измеренной величине l называют относительной погрешностью.


Относительные погрешности всегда выражаются дробью с числителем, равным единице (аликвотная дробь). Так, в приведенном выше примере относительная погрешность первого измерения составляет


,

а второго 

.

 

11.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть некоторая величина с истинным значением X измерена равноточно n раз и получены результаты: l1, l2, l3,li(i = 1, 2, 3, … n), которые часто называют рядом измерений. Требуется найти наиболее надежное значение измеренной величины, которое называют вероятнейшим, и оценить точность результата.
В теории погрешностей наиболее вероятным значением для ряда равноточных результатов измерений принимают среднее арифметическое, т. е.

111            (11.1)

При отсутствии систематических погрешностей арифметическое среднее по мере неограниченного возрастания числа измерений стремится к истинному значению измеряемой величины.
Чтобы усилить влияние более крупных погрешностей на результат оценки точности ряда измерений, пользуются среднеквадратической погрешностью (СКП).Если известно истинное значение измеряемой величины, а систематическая погрешность пренебрежимо мала, то средняя квадратическая погрешность (m) отдельного результата равноточных измерений определяется по формуле Гаусса:


m =          (11.2),

где Δ i – истинная погрешность.

В геодезической практике истинное значение измеряемой величины в большинстве случаев заранее неизвестно. Тогда среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений вычисляют по вероятнейшим погрешностям (d) отдельных результатов измерений (li); по формуле Бесселя:


m =          (11.3)

Где вероятнейшие погрешности (δi) определяются как отклонение результатов измерений от арифметического среднего


di = li – µ

Часто рядом с вероятнейшим значением величины записывают и ее среднюю квадратическую погрешность (m), например 70°05' ± 1'. Это означает, что точное значение угла может быть больше или меньше указанного на 1'. Однако эту минуту нельзя ни добавить к углу, ни вычесть из него. Она характеризует лишь точность получения результатов при данных условиях измерений.
Анализ кривой нормального распределения Гаусса показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

Δпред. = 3m

Предельной погрешностью называется такое значение случайной погрешности, появление которого при данных условиях измерений маловероятно.
В качестве предельной также принимают среднюю квадратическую погрешность, равную
Δ
пред = 2,5m
,
с вероятностью ошибки, равной порядка 1%.

Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых
mS2 = m12+ m22 + m32 + .....+ mn2

В частном случае, когда m1 = m2 = m3 = mn = m для определения средней квадратической погрешности арифметической средней пользуются формулой

mS =
Средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в  раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Пример.
Если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит


mугл = 30"  = ±1,5"

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (точность определения среднего арифметического)
Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего(mµ) в  раз меньше среднего квадратического одного измерения.
Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений.

123

Например, требуется определить величину угла с точностью ± 15 секунд при наличии 30-секундного теодолита.

123

Если измерить угол 4 раза (n) и определить арифметическое среднее, то средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (mµ ) составит ± 15 секунд.
Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (mµ) показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.

Пример
Произведено 5-кратное измерение длины одной линии.
По результатам измерений вычислить: вероятнейшее значение ее длины L(среднее арифметическое); вероятнейшие погрешности (отклонения от среднего арифметического); среднюю квадратическую погрешность одного измерения m; точность определения среднего арифметического , и вероятнейшее значение длины линии с учетом среднеквадратической погрешности среднего арифметического (L).

Обработка результатов измерения расстояния (пример)

Таблица 11.1.

Номер измерения

Результат измерения,
м

Вероятнейшие погрешности di, см

Квадрат вероятнейшей погрешности, см2

Характеристика
точности

1

980,49

-16

256

m= ±19 см
mµ= 19 см/= ±8 см

2

980,91

+26

676

3

980,44

-21

441

4

980,68

+3

9

5

980,73

+8

64

 

µ = 980,65

Σdi = 0

di]2 = 1446

L= (980.65 ±0.08) м

 

11.4. ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При неравноточных измерениях, когда результаты каждого измерения нельзя считать одинаково надежными, уже нельзя обойтись определением простого арифметического среднего. В таких случаях учитывают достоинство (или надежность) каждого результата измерений.
Достоинство результатов измерений выражают некоторым числом, называемым весом этого измерения. Очевидно, что арифметическое среднее будет иметь больший вес по сравнению с единичным измерением, а измерения, выполненные при использовании более совершенного и точного прибора, будут иметь большую степень доверия, чем те же измерения, выполненные прибором менее точным.
Поскольку условия измерений определяют различную величину средней квадратической погрешности, то последнюю и принято принимать в качестве основы оценки весовых значений, проводимых измерений. При этом веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических погрешностей.
Так, если обозначить через р и Р веса измерений, имеющие средние квадратические погрешности соответственно m и µ, то можно записать соотношение пропорциональности:

123

Например, если µ средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, а m – соответственно, одного измерения, то, как следует из

123 

можно записать:

123

т. е. вес арифметического среднего в n раз больше веса единичного измерения.
Аналогичным образом можно установить, что вес углового измерения, выполненного 15-секундным теодолитом, в четыре раза выше веса углового измерения, выполненного 30-секундным прибором.
При практических вычислениях обычно вес одной какой-либо величины принимают за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений. Так, в последнем примере если принять вес результата углового измерения 30-секундным теодолитом за р = 1, то весовое значение результата измерения 15-секундным теодолитом составит Р = 4.

11.5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛЕВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ОБРАБОТКЕ

Все материалы геодезических измерений состоят из полевой документации, а также документации вычислительных и графических работ. Многолетний опыт производства геодезических измерений и их обработки позволил разработать правила ведения этой документации.

Оформление полевых документов

К полевым документам относят материалы поверок геодезических приборов, журналы измерений и бланки специальной формы, абрисы, пикетажные журналы. Вся полевая документация считается действительной только в подлиннике. Она составляется в единственном экземпляре и в случае утраты может быть восстановлена лишь повторными измерениями, что практически не всегда возможно.

Правила ведения полевых журналов сводятся к следующим.
1. Заполнять полевые журналы следует аккуратно, все цифры и буквы должны быть записаны четко и разборчиво.
2. Исправление цифр и их подчистка, а также написание цифры по цифре не допускаются.
3. Ошибочные записи отсчетов зачеркиваются одной чертой и справа указывается «ошибочно» или «описка», а правильные результаты надписываются сверху.
4. Все записи в журналах ведутся простым карандашом средней твердости, чернилами или шариковой ручкой; использование для этого химических или цветных карандашей не рекомендуется.
5. При выполнении каждого вида геодезических съемок записи результатов измерений делают в соответствующих журналах установленной формы. До начала работ страницы журналов пронумеровывают и их число заверяет руководитель работ.
6. В процессе полевых работ страницы с забракованными результатами измерений зачеркивают по диагонали одной чертой, указывают причину брака и номер страницы, содержащей результаты повторных измерений.
7. В каждом журнале на заглавном листе заполняют сведения о геодезическом приборе (марка, номер, средняя квадратическая погрешность измерения), записывают дату и время наблюдений, метеоусловия (погода, видимость и т. п.), фамилии исполнителей, приводят необходимые схемы, формулы и примечания.
8. Журнал должен заполняться таким образом, чтобы другой исполнитель, не участвующий в полевых работах, мог безошибочно выполнить последующую обработку результатов измерений. При заполнении полевых журналов следует придерживаться следующих форм записи:
а) числа в столбцах записываются так, чтобы все цифры соответствующих разрядов располагались одна под другой без смещения.
б) все результаты измерений, выполненных с одинаковой точностью, записывают с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример
356,24 и 205,60 м — правильно,
356,24 и 205,6 м — неправильно;
в) значения минут и секунд при угловых измерениях и вычислениях всегда записывают двузначным числом.

Пример
127°07'05", а не 127º7'5";

г) в числовых значениях результатов измерений записывают такое количество цифр, которое позволяет получить отсчетное устройство соответствующего средства измерений. Например, если длина линии измеряется рулеткой с миллиметровыми делениями и отсчитывание проводится с точностью до 1 мм, то отсчет должен быть записан 27,400 м, а не 27,4 м. Или если угломерный прибор позволяет отсчитывать только целые минуты, то отсчет запишется как 47º00', а не 47º или 47º00'00».

11.5.1. Понятие о правилах геодезических вычислений

К обработке результатов измерений приступают после проверки всех полевых материалов. При этом следует придерживаться выработанных практикой правил и приемов, соблюдение которых облегчает труд вычислителя и позволяет ему рационально использовать вычислительную технику и вспомогательные средства.
1. Перед началом обработки результатов геодезических измерений следует разработать подробную вычислительную схему, в которой указывается последовательность действий, позволяющая получить искомый результат наиболее простым и быстрым путем.
2. С учетом объема вычислительных работ выбирать наиболее оптимальные средства и способы вычислений, требующие наименьших затрат при обеспечении необходимой точности.
3. Точность результатов вычислений не может быть выше точности измерений. Поэтому заранее следует задаваться достаточной, но не излишней точностью вычислительных действий.
4. При вычислениях нельзя пользоваться черновиками, так как переписывание цифрового материала отнимает много времени и часто сопровождается ошибками.
5. Для записей результатов вычислений рекомендуется использование специальных схем, бланков и ведомостей, определяющих порядок расчетов и обеспечивающих промежуточный и общий контроль.
6. Без контроля вычисление не может считаться законченным. Контроль можно выполнять, используя другой ход (способ) решения задачи либо выполняя повторные вычисления другим исполнителем (в «две руки»).
7. Вычисления всегда заканчиваются определением погрешностей и обязательным их сравнением с допусками, предусматриваемыми соответствующими инструкциями.
8. Особые требования при вычислительных работах предъявляются к аккуратности и четкости записи чисел в вычислительных бланках, поскольку небрежности в записях приводят к ошибкам.
Как и в полевых журналах, при записях столбцов чисел в вычислительных схемах цифры одинаковых разрядов следует располагать одна под другой. При этом дробную часть числа отделяют запятой; многоразрядные числа желательно записывать с интервалами, например: 2 560 129,13. Записи вычислений следует вести только чернилами прямым шрифтом; ошибочные результаты аккуратно перечеркивать и сверху писать исправленные значения.
При обработке материалов измерений следует знать, с какой точностью должны быть получены результаты вычислений, чтобы не оперировать с излишним числом знаков; если окончательный результат вычисления получается с большим числом знаков, чем это необходимо, то производят округление чисел.

11.5.2. Округление чисел

Округлить число до n знаков – значит сохранить в нем первые nзначащих цифр.
Значащие цифры числа – это все его цифры от первой слева, отличной от нуля, до последней записанной цифры справа. При этом нули справа не считаются значащими цифрами, если они заменяют неизвестные цифры или поставлены вместо других цифр при округлении данного числа.
Например, число 0,027 имеет две значащие цифры, а число 139,030 – шесть значащих цифр.

При округлении чисел следует придерживаться следующих правил.
1. Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя оставляемая цифра сохраняется без изменения.
Например, число 145,873 после округления до пяти значащих цифр будет 145,87.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.
Например, число 73,5672 после округления его до четырех значащих цифр будет 73,57.
3. Если последней цифрой округляемого числа является цифра 5 и она должна быть отброшена, то предшествующую ей цифру в числе увеличивают на единицу только в том случае, если она нечетная (правило четной цифры).
Например, числа 45,175 и 81,325 после округления до 0,01 будут соответственно 45,18 и 81,32.

11.5.3. Действия с приближенными числами

Результаты геодезических измерений являются числами приближенными. Степень приближения, характеризующая точность измерения, зависит от способа измерения и применяемых приборов.
При действиях с приближенными числами необходимо руководствоваться следующими правилами приближенных вычислений.
1.   Чтобы при сложении приближенных чисел получить сумму с n верными (т. е. заслуживающими доверия) десятичными знаками, следует каждое слагаемое округлить до n+ 1-го десятичного знака.
При вычитании, когда уменьшаемое значительно превосходит вычитаемое, к числу верных знаков разности применяют те же правила, что и для числа верных знаков суммы.
При сложении или вычитании приближенных чисел в результате (в сумме или разности) необходимо оставлять столько десятичных знаков, сколько их дано в числе с наименьшим количеством этих знаков.
2.   При умножении двух приближенных чисел, имеющих поровну значащих цифр, в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их было в каждом из сомножителей.

Пример
72,6 × 32,7 = 2374,02 ≈ 23,7 × 102

При умножении двух приближенных чисел с разным числом значащих цифр в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример
4,248 × 0,55 = 2,3364 ≈ 2,34

Для получения произведения с n верными знаками сомножители следует брать с n + 1 или n + 2 верными знаками.
3.   При делении двух приближенных чисел, имеющих одинаковое число значащих цифр, в частном следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в каждом из данных.

Пример
4,347 : 6,173 = 0,704 196 ... ≈ 0,7042

При делении двух приближенных чисел, имеющих различное число значащих цифр, в частном следует сохранять столько значащих цифр, сколько их было в числе с меньшим количеством значащих цифр.

Пример
548,4 : 3,6 = 152,33 ≈ 1,5 × 102

4.   При возведении приближенных чисел в степень в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их содержится в основании степени.

Пример
1,423 ≈ 2,86

5.   При извлечении корня из приближенного числа в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном числе.
6.   Если для вычисления искомой величины требуется произвести ряд разных действий, то в этом случае во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем это указано в правилах 1 – 4, отбрасывая эту цифру только в окончательном результате.
7.   Если некоторые величины, участвующие в вычислении, имеют десятичных знаков (при сложении и вычитании) или значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень или извлечении корня) больше, чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя лишь одну цифру против числа, заданного с наименьшим числом значащих цифр.

Соблюдение данных правил при вычислениях позволяет обеспечить необходимую точность и повысить производительность вычислительных работ.

11.5.4. Графические работы

Ценность графических материалов (планов, карт и профилей), являющихся конечным результатом геодезических съемок, в значительной мере определяется не только точностью полевых измерений и правильностью вычислительной их обработки, но и качеством графического исполнения. Графические работы должны выполняться с помощью тщательно проверенных чертежных инструментов: линеек, треугольников, геодезических транспортиров, циркулей-измерителей, остро отточенных карандашей (Т и ТМ) и т. п. Большое влияние на качество и производительность чертежных работ оказывает организация рабочего места. Чертежные работы должны выполняться на листах качественной чертежной бумаги, закрепленных на ровном столе либо на специальной чертежной доске. Составленный карандашный оригинал графического документа после тщательной проверки и корректировки оформляют в туши в соответствии с установленными условными знаками.

Вопросы и задания для самоконтроля

  1. Что значит выражение: «измерить какую-либо величину»?
  2. Как классифицируют измерения?
  3. Как классифицируют измерительные приборы?
  4. Как классифицируют результаты измерений по точности ?
  5. Какие измерения называют равноточными?
  6. Что означают понятия: «необходимое и избыточное число измерений»?
  7. Как классифицируют ошибки измерения?
  8. Чем обусловлены систематические погрешности?
  9. Какими свойствами обладают случайные погрешности?
  10. Что называют абсолютной (истинной) погрешностью?
  11. Что называют относительной погрешностью?
  12. Что называют в теории погрешностей средним арифметическим?
  13. Что называют в теории погрешностей средней квадратической погрешностью?
  14. Чему равна предельная средняя квадратическая погрешность?
  15. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений и средняя квадратическая погрешность одного слагаемого?
  16. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность арифметического среднего и средняя квадратическая погрешность одного измерения?
  17. Что показывает средняя квадратическая погрешность арифметического среднего?
  18. Какай параметр принимают в качестве основы оценки весовых значений?
  19. Как соотносятся вес арифметического среднего и вес единичного измерения?
  20. Какие правила приняты в геодезии для ведения полевых журналов?
  21. Перечислите основные правила геодезических вычислений.
  22. Округлите до 0,01  числа 31,185 и 46,575.
  23. Перечислите основные правила при действиях с приближенными числами.
  24. Перечислите основные правила выполнения графических работ.

 

 

Яндекс.Метрика